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已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.
(1)若直线AP的斜率为k,且|k|∈[,],求实数m的取值范围;
(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
1、m的取值范围是[-1,1-]∪[1+,3].
2、x2-(2-1)y2=1.
(1)由条件得直线AP的方程y=k(x-1),即kx-y-k=0,
因为点M到直线AP的距离为1,
=1,即|m-1|==.
∵|k|∈[,],
≤|m-1|≤2.
解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-.
∴m的取值范围是[-1,1-]∪[1+,3].
(2)可设双曲线方程为x2-=1(b≠0),
由M(+1,0),A(1,0)得|AM|=.
又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,
所以∠MAP=45°,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.
因此kAP=1,kAQ=-1(不妨设P在第一象限),直线PQ的方程为x=2+,
直线AP的方程为y=x-1.
∴解得P的坐标是(2+,1+).
将P点坐标代入x2-=1得b2=,
所以所求双曲线方程为x2-y2=1,
即x2-(2-1)y2=1.
练习册系列答案
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