Question

9．设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：
设$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，则$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=2015．

Answer 1

分析 求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出．

解答 解：g″（x）=2x-1，令g″（x）=0得x=$\frac{1}{2}$，g（$\frac{1}{2}$）=1．
∴g（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1）．
∴g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2015}{2016}$）=g（$\frac{2}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）=g（$\frac{3}{2016}$）+g（$\frac{2013}{2016}$）=…=g（$\frac{1007}{2016}$）+g（$\frac{1009}{2016}$）=2，
∴$g（\frac{1}{2016}）+g（\frac{2}{2016}）+g（\frac{3}{2016}）+…+g（\frac{2015}{2016}）$=1007×2+g（$\frac{1008}{2016}$）=1007×2+g（$\frac{1}{2}$）=2014+1=2015．
故答案为2015．

点评 本题考查了导数的运算，函数求值，属于中档题．