Question

12．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥AE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO，可得OE∥PD，又OE?平面ACE，PD?平面ACE，即可判定PD∥平面ACE．
（Ⅱ）先证明PA⊥BC，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，可得CB⊥AE，又AE⊥PB，即可证明AE⊥平面PBC，从而可证PC⊥AE．

解答 （本题满分为12分）证明：（Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO，
∵E，O分别为BP，BD的中点，
∴OE∥PD，
又∵OE?平面ACE，PD?平面ACE，
∴PD∥平面ACE．…4分
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，…6分
又∵底面ABCD是矩形，
∴CB⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴CB⊥平面PAB，…8分
又∵AE?平面PAB，
∴CB⊥AE，
又∵PA=AB，E为PB的中点，
∴AE⊥PB，…10分
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
又∵PC?平面PBC，
∴PC⊥AE．…12分

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．