Question

2．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：
（I）AB∥平面EFG；
（II）平面EFG⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （I）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明AB∥EG即可；
（II）证明CD⊥平面ABC，可得EF⊥平面ABC，从而可证平面平面EFG⊥平面ABC．

解答 证明：（I）在三棱锥A-BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB∥EG…（3分）
因为EG?平面EFG，AB?平面EFG
所以AB∥平面EFG…（5分）
（II）因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD
所以AB⊥CD…（7分）
又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC…（10分）
又E，F分别是AC，AD，的中点
所以CD∥EF
所以EF⊥平面ABC…（12分）
又EF?平面EFG，
所以平面平面EFG⊥平面ABC．…（13分）

点评 本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．