Question

10．已知直线l与抛物线y²=4x相切于点M，与其准线相交于点N，以MN为直径的圆过x轴上一个定点P，则定点P的坐标为（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，0）
• C． （2，0）
• D． （4，0）

Answer 1

分析 求出切线方程，确定M，N的坐标，验证$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{NF}$=0，即可得出结论．

解答 解：设M（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀）（y₀＞0），y=2$\sqrt{x}$，则y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴直线l的方程为y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$），
设x=-1，则y=-$\frac{2}{{y}_{0}}$+$\frac{{y}_{0}}{2}$，
∴$\overrightarrow{MF}$•$\overrightarrow{NF}$=（1-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，-y₀）•（2，$\frac{2}{{y}_{0}}$-$\frac{{y}_{0}}{2}$）=2-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$-2+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=0，
∴MF⊥NF，
∴以MN为直径的圆过x轴上一个定点P（1，0），
故选：B．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题．