Question

8．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积是$\frac{1}{2}$c²，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由余弦定理得a²+b²=c²-2abcosC，由面积公式可得c²=absinC，从而得出$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$关于C的函数，求出此函数的最大值即可．

解答 解：∵在△ABC中，S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}{c}^{2}$，∴c²=absinC．
由余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，∴a²+b²=c²+2abcosC，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2{c}^{2}+2abcosC}{ab}$=2sinC+2cosC=2$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）．
∴当C=$\frac{π}{4}$时，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$取得最大值2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．