Question

8．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a^x=b^y=2，
（1）若ab=4，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2；
（2）a²+b=8，则$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$的最大值是4．

Answer 1

分析 （1）由a^x=b^y=2，可得x=log_a2，y=log_b2，代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$，即可得出．
（2）又a²+b=8，可得$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_{b}2}$=log（a²b），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a^x=b^y=2，∴x=log_a2，y=log_b2，由ab=4，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_{b}2}$=log₂（ab）=2．
（2）又a²+b=8，∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{lo{g}_{a}2}$+$\frac{1}{lo{g}_{b}2}$=log（a²b）≤$lo{g}_{2}（\frac{{a}^{2}+b}{2}）^{2}$=4，当且仅当a²=b=4时取等号，因此最大值为4．
故答案分别为：2；4．

点评 本题考查了指数函数与对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．