Question

（1）用分析法证明：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
（2）用反证法已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ab+cd＞1，求证a，b，c，d中至少有一个是负数．（提示：ac≤

ac

≤

a+c

2

，bd≤

bd

≤

b+c

2

）

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：分析法,综合法

分析：（1）依题意，圆的面积为π•(

l

2π

)2，正方形的面积为(

l

4

)2，根据分析法的证明步骤可得结论；
（2）利用反证法进行证明，假设a、b、c、d都是非负数，找出矛盾即可．

解答： 证明：（1）设一个圆和一个正方形的周长相等，都为l，依题意，圆的面积为π•(

l

2π

)2，正方形的面积为(

l

4

)2．因此本题只需证明π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
两边同乘以正数

4

l2

，得

1

π

＞

1

4

．
因此，只需证明4＞π．
因为4＞π恒成立，所以π•(

l

2π

)2＞(

l

4

)2．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大（2）假设a、b、c、d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，
∴（a+b）（c+d）=1．
∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．
这与ac+bd＞1矛盾．
所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数．

点评：本题考查考查反证法，考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，反证法的定义：从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．