Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理知

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，
由余弦定理得36=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3

4

（b+c）²=

1

4

（b+c）²，（当且仅当b=c时取等号），
∴（b+c）²≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
即b+c的取值范围是（6，12]．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．