Question

三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），
（1）求BC边上的高所在直线的方程．
（2）求三角形ABC的外接圆的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）先求出直线BC的斜率，求BC边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程得BC边上的高所在的直线方程；
（2）方法一：先求出BC的中点，再由（1）求出BC的垂直平分线方程，同理再求出的AB的垂直平分线方程，联立后可求三角形外接圆的圆心，从而求得半径，得三角形外接圆的方程；
方法二：利用待定系数法，可求△ABC外接圆的方程．．

解答： 解：（1）∵BC边的斜率：kBC=

-8-(-3)

2-7

=1…（2分）
∴BC边上的高所在直线斜率：k=-1…（4分）
∴BC边上的高所在直线的方程为：y-1=-1×（x-5），
即x+y-6=0…（6分）
（2）方法1：BC中点（

9

2

，-

11

2

），BC边的垂直平分线为y+

11

2

=-1×(x-

9

2

)，
即x+y+1=0…（7分）
∵AB中点（6，-1），AB边的斜率为

1-(-3)

5-7

=-2
∴AB边的垂直平分线为y+1=

1

2

×(x-6)即x-2y-8=0…（7分）
由

x+y+1=0 x-2y-8=0

得

x=2 y=-3

，得圆心（2，-3）…（10分）
则半径为

(2-5)2+(-3-1)2

=5…（11分）
故外接圆方程为（x-2）²+（y+3）²=25…（12分）
方法2：设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则5²+1²+D•5+E•1+F=0，①
7²+（-3）²+D•7+E•（-3）+F=0，②
2²+（-8）²+D•2+E•（-8）+F=0，③
联立①②③解得，D=-4，E=6，F=-12．（11分）
所以△ABC外接圆的方程为x²+y²-4x+6y-12=0．…（12分）

点评：本题考查了直线的一般方程、直线方程的点斜式，考查了圆的方程的求法：几何法、待定系数法，要熟记有些率的两条直线垂直的充要条件是斜率之积等于-1．