Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）在边BC上是否存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是

5

5

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是

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．过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，
则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．运用等积法，得V_P-ADG=V_D-PAG，即

1

3

PA•S_△ADG=

1

3

DO•S_△PAG，即可判断．

解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）在边BC上假设存在一点G，使得PD与平面PAG所成的正弦是

5

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．
过D作DO⊥平面PAG，垂足为O，连接PO，
则∠DPO为PD与平面PAG所成的角．
设BG=x，则△ADG的面积为1，AG=

1+x2

，
直角三角形PAG的面积为

1

2

1+x2

，
在直角三角形PAD中，PD=

5

，
由sin∠DPO=

5

5

，得DO=PDsin∠DPO=1．
由等积法，得V_P-ADG=V_D-PAG，即

1

3

PA•S_△ADG=

1

3

DO•S_△PAG，
1=

1

2

1+x2

，解得x=

3

．
故在边BC上一点G，使得BG=

3

，PD与平面PAG所成的正弦是

5

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．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质，面面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角的求法，考查等积法，属于中档题．