Question

已知f（x）=

a

(a2-1)(ax-a-x)

（a＞0，且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）先求定义域，再求f（-x），与±f（x）比较，即可判断；
（2）令t=a^x-a^-x，则y=

a

a2-1

•

1

t

，运用复合函数的单调性：同增异减，可讨论a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的单调性，即可判断．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

(a2-1)(ax-a-x)

（a＞0，且a≠1），
∴ax-a-x≠0，即x≠0，即定义域关于原点对称，
又f（-x）=

a

(a2-1)(a-x-ax)

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）令t=a^x-a^-x，则y=

a

a2-1

•

1

t

，
①当a＞1，x＞0或x＜0时，a²＞1，y是t的减函数，
a^x是x的增函数，a^-x是x的减函数，则t是x的增函数，
由复合函数的单调性，可知f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）是减函数；
②当0＜a＜1时，x＞0或x＜0时，a²＜1，y是t的增函数，a^x是x的减函数，a^-x是x的增函数，则
t是x的减函数，由复合函数的单调性，可知f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）是减函数．
故f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上均为减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，注意函数的定义域是否关于原点对称，考查函数的单调性及运用，以及复合函数的单调性：同增异减，属于中档题．