Question

已知a_n=（2n+1）•（

3

4

）^n-1，求数列{a_n}的前n项和S_n，并求其范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用错位相减法，求出数列{a_n}的前n项和S_n，确定其单调性，即可求其范围．

解答： 解：由题意，S_n=3+5•

3

4

+…+（2n+1）•（

3

4

）^n-1，①
∴

3

4

S_n=3•

3

4

+5•（

3

4

）²+…+（2n+1）•（

3

4

）ⁿ，②
①-②可得

1

4

S_n=3+2•

3

4

+2•（

3

4

）²+…2•（

3

4

）^n-1-（2n+1）•（

3

4

）ⁿ，
∴S_n=36-24•（

3

4

）^n-1-4（2n+1）•（

3

4

）ⁿ=36-（6n+27）•（

3

4

）^n-1，
令f（n）=（6n+27）•（

3

4

）^n-1，则f（n-1）=（6n+21）•（

3

4

）^n-2，
∴

f(n)

f(n-1)

=

6n+27

8n+28

＜1，
∴函数f（n）是单调递减的，
∴f（n）≤f（1）=33，
∴S_n≥33．

点评：本题考查数列{a_n}的前n项和S_n，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．