Question

在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′O⊥面ABD于点O，点O恰在AB上．
（1）求证：BC′⊥面AC′D
（2）求点A与平面BC′D的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得DA⊥AB，DA⊥BC′，BC′⊥DC′，由此能证明BC′⊥平面AC′D．
（2）过A作AH⊥C′D于H，由BC′⊥平面AC′D，知BC′⊥AH．从而AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．由此能求出点A到平面BC′D的距离．

解答： （1）证明：∵DA?平面ABD，
AB是BC′在平面ABD内的射影，
DA⊥AB，
∴DA⊥BC′，BC′⊥DC′，
∴BC′⊥平面AC′D．
（2）解：如图所示，过A作AH⊥C′D于H，
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH．?∴AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．?
∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′．∴DA⊥AC′．?
在Rt△AC′B中，?
AC′=

AB2-BC2

=3

2

，?
在Rt△BC′D中，C′D=CD=3

3

．?
在Rt△C′AD中，由面积关系，
得AH=

AC′•AD

C′D

=

3 2 •3

3 3

=

6

，
∴点A到平面BC′D的距离为

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．