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    【题目】定义在的函数的导函数为.

    证明：（1）在区间存在唯一极小值点；

    （2）有且仅有2个零点.

    【答案】（1）证明见解析

    （2）证明见解析

    【解析】

    (1)由题,再求导利用零点存在定理证明即可.

    (2)由(1)可得在区间存在唯一极小值点,再根据零点存在定理证明即可.

    解：（1）,则,

    因为与在均为增函数,故在为增函数,

    又,,结合零点存在性定理知：存在唯一使得,

    若,；若,；故在区间存在唯一极小值点.

    （2）由（1）可知在区间存在唯一极小值点,所以,

    又,,结合零点存在性定理知：存在唯一使得,

    存在唯一使得,故当时,,当时,,

    故在和为增函数,在为减函数,则

    且,由零点存在性定理：存在唯一使得,

    故函数在有且仅有与两个零点；

    当时,,则,故函数在没有零点；

    综上所述,有且仅有2个零点.

    练习册系列答案
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    男生

    女生

    合计

    挑同桌

    30

    40

    70

    不挑同桌

    20

    10

    30

    总计

    50

    50

    100

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    （2）根据以上列联表，是否有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？

    下面的临界值表供参考：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    （参考公式：，其中.）

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    （2）若，证明：存在唯一的极小值点，且.

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