【题目】已知函数(其中e为自然对数的底).
(1)若在
上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若,证明:
存在唯一的极小值点
,且
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求导得,则
在
时恒成立,不等式可转化为
,求出
的最小值,令
即可;
(2)时,
,求出导函数,可知
单调递增,令
,易证
,从而可证明
存在唯一的极小值点
,再结合
,可得到
和
,从而可得到
的表达式,结合
,求出
的取值范围即可.
(1)由题意,,则
在
时恒成立,即
在
时恒成立,
令,则
,显然
在
上单调递增,则
,所以只需
,即满足
在
时恒成立,
故实数a的取值范围是.
(2),则
,其定义域为
,
求导得,显然
是
上的增函数,
,因为
,所以
,即
,
,因为
,所以
,即
,
令,则
在
上有唯一零点
,且
,
故时,
单调递减,
时,
单调递增,所以
存在唯一的极小值点
.
因为,所以
,两边取对数得
,即
,
故,
,
构造函数,
,
显然在
上单调递减,所以
,
又,
,故
,即
.
所以存在唯一的极小值点
,且
.
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【题目】已知函数的图象的一个对称中心为
,则下列说法正确的是( )
A.直线是函数
的图象的一条对称轴
B.函数在
上单调递减
C.函数的图象向右平移
个单位可得到
的图象
D.函数在
上的最小值为
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求的标准方程;
(2)若动点为
外一点,且
到
的两条切线相互垂直,求
的轨迹
的方程;
(3)设的另一个焦点为
,自直线
:
上任意一点
引(2)所求轨迹
的一条切线,切点为
,求证:
.
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【题目】法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题,他们说,他们下赌金之后,约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金700法郎,赌了半天,甲赢了4局,乙赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占,每局输赢相互独立,那么这700法郎如何分配比较合理( )
A.甲400法郎,乙300法郎B.甲500法郎,乙200法郎
C.甲525法郎,乙175法郎D.甲350法郎,乙350法郎
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【题目】设,
,
是三个不同平面,
,
是两条不同直线,有下列三个条件:(1)
,
;(2)
,
;(3)
,
.如果命题“
,
,且__________,则
”为真命题,则可以在横线处填入的条件是__________(把所有正确的序号填上).
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【题目】
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素
.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素
.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
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