Question

10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=1，则异面直线BC₁与CD₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC₁与CD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B（1，2，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
设异面直线BC₁与CD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线BC₁与CD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．