Question

已知函数f（x）=

x2+4

x

（x≠0）．
（1）判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）在[1，4]上的值域．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用单调性的定义进行证明即可；
（2）由（1）知，f（x）在[1，2]上递减，又易得f（x）在（2，4]上递增，即可求函数f（x）在[1，4]上的值域．

解答： 解：（1）f（x）在[1，2]上递减，证明如下：（1分）
设任取x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

(x1x2-4)(x2-x1)

x1x2

∵1≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在[1，2]上递减                                 （4分）
（2）由（1）知，f（x）在[1，2]上递减，又易得f（x）在（2，4]上递增，则f（x）_min=f（2）=3，
又f（1）=f（4）=5，∴f（x）_max=5，∴f（x）∈[3，5]（8分）

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．