Question

若对任意n∈N⁺，关于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0在（-∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：关于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，等价于x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立．

解答： 解：关于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
等价于x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max对任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
∴x²+

1

2

x≥

1

2

对 x∈（-∞，λ]恒成立．
设y=x²+

1

2

x，它的图象是开口向上，对称轴为x=-

1

4

的抛物线，
∴当x≤-

1

4

时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ²+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，或λ≥

1

2

（舍）
当x＞-

1

4

，左边的最小值就是在x=-

1

4

时取到，
达到最小值时，x²+

1

2

x，=-

1

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，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．