Question

11．已知函数f（x）=e^2x-1，直线l过点（0，-e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． e^-1

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，-e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．

解答 解：由f（x）=e^2x-1，得f′（x）=2e^2x-1，
设切点为（${x}_{0}，{e}^{2{x}_{0}-1}$），则f′（x₀）=$2{e}^{2{x}_{0}-1}$，
∴曲线y=f（x）在切点处的切线方程为y-${e}^{2{x}_{0}-1}$=$2{e}^{2{x}_{0}-1}$（x-x₀）．
把点（0，-e）代入，得-e-${e}^{2{x}_{0}-1}$=-$2{x}_{0}•{e}^{2{x}_{0}-1}$，
即${e}^{2{x}_{0}-1}•（2{x}_{0}-1）=e$，两边取对数，得（2x₀-1）+ln（2x₀-1）-1=0．
令g（x）=（2x-1）+ln（2x-1）-1，
函数g（x）为（$\frac{1}{2}$，+∞）上的增函数，又g（1）=0，
∴x=1，即x₀=1．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．