Question

1．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）证明：f（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=b=2时，f（x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（x）的最大值；
（Ⅱ）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值；
（Ⅲ）要证f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，只需证f（x）_min+|2a-b|+a≥0，设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明M+m＞0．

解答 解：（Ⅰ）当a=b=2时，f（x）=8x²-4x，x∈[0，1]．
对称轴为x=$\frac{1}{4}$，f（0）=0，f（1）=4，
可得f（x）的最大值为4；
（Ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=$\frac{b}{4a}$，
当$\frac{b}{4a}$＞1时，区间[0，1]为减区间，
可得f（x）的最大值为f（0）=b-a，
由b＞4a＞2a，可得|2a-b|+a=b-2a+a=b-a，
则f（0）=|2a-b|+a；
当$\frac{b}{4a}$＜0时，区间[0，1]为增区间，
可得最大值为f（1）=3a-b，
由b＜0，可得|2a-b|+a=2a-b+a=3a-b=f（1）；
当0≤$\frac{b}{4a}$≤1时，区间[0，$\frac{b}{4a}$]为减区间，[$\frac{b}{4a}$，1]为增区间，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a-b=|2a-b|+a；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值为f（0）=b-a=|2a-b|+a．
综上可得函数f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）证明：要证f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，
只需证f（x）_min+|2a-b|+a≥0，
设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，
由f（x）的对称轴为x=$\frac{b}{4a}$，
当$\frac{b}{4a}$＞1时，区间[0，1]为减区间，可得m=f（1）=3a-b，
则M+m=b-2a+a+3a-b=2a＞0；
当$\frac{b}{4a}$＜0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，则M+m=2a＞0；
当0≤$\frac{b}{4a}$≤1时，区间[0，$\frac{b}{4a}$]为减区间，[$\frac{b}{4a}$，1]为增区间，
可得m=f（$\frac{b}{4a}$）=$\frac{4ab-4{a}^{2}-{b}^{2}}{4a}$，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=$\frac{8{a}^{2}-{b}^{2}}{4a}$≥$\frac{8{a}^{2}-4{a}^{2}}{4a}$=a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=$\frac{8ab-8{a}^{2}-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-（b-4a）^{2}+8{a}^{2}}{4a}$，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m＞0．
综上可得M+m＞0恒成立，
即有f（x）+|2a-b|+a≥0．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．