Question

20．若f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x恒大于0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用同角三角函数间的关系式及二次函数的配方法可得f（x）=（cosx-a）²-a²-2a，分a＜-1、-1≤a≤1及a＞1三类讨论，利用二次函数的单调性与最值即可求得a在不同范围内的f（x）的最小值，与a的范围联立不等式组求得a的范围，最后取并集得答案．

解答 解：由f（x）=1-2a-2acosx-sin²x=1-2a-2acosx-（1-cos²x）
=cos²x-2acosx-2a=（cosx-a）²-a²-2a．
这里-1≤cosx≤1．
①若-1≤a≤1时，则当cosx=a时，f（x）_min=-a²-2a，
由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{{a}^{2}-2a＞0}\end{array}\right.$，解得-1≤a＜0；
②若a＞1，则当cosx=1时，f（x）_min=1-4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{1-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
③若a＜-1，则当cosx=-1时，f（x）_min=1＞0恒成立．
综上，实数a的取值范围是（-∞，0）．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，考查了配方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．