Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，cosx），设函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+f（-A）=

3

2

，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求a．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（I）由向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，cosx），函数f（x）=

m

•

n

．结合向量的数量积运算定义及倍角公式，和差角公式，可得函数f（x）的解析式，进而由正弦型函数的图象和性质得到f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值；
（Ⅱ）由A为锐角，f（A）+f（-A）=

3

2

，可求出A，结合△ABC的面积为2

3

，可求出bc，进而由余弦定理得到a值．

解答： 解：（I）∵向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

m

•

n

=sin²x+

3

sinxcos=

1

2

-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
当2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

时，函数f（x）取最小值-

1

2

，
（II）∵f（A）+f（-A）=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）+sin（-2A-

π

6

）+1=

3

2

，
化简得：cos2A=-

1

2

，
∵A为锐角，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵△ABC的面积为2

3

=

1

2

bcSinA=

3

4

bc，
∴bc=8，
∵b+c=7，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=25，
∴a=5

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，倍角公式，和差角公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，是三角函数，解三角形，向量的综合应用，难度较大．