Question

如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=AB，C∈β，D∈β，DA⊥AB，CB⊥AB，BC=8，AB=6，AD=4，平面α有一动点P使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积最大值是（　　）

• A、24
• B、32
• C、12
• D、48

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：由平面α⊥平面β，α∩β=AB，C∈β，D∈β，DA⊥AB，CB⊥AB，得到△PAD与△PBC是直角三角形，过P点作出AB的垂线PM后，设出AM的长度t，把PM用含有t的代数式表示，求出最大值，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：由已知平面α⊥平面β，AB是平面α与平面β的交线，
∵C∈β，D∈β，
∴DA?β，CB?β，
又DA⊥AB，CB⊥AB，
∴DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t2

，
则（PM）_max=4．
∴△PAB的面积最大值S△PAB=

1

2

×6×PM=

1

2

×6×4=12．
故选：C．

点评：本题考查了平面与平面垂直的性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用构造方程解题的思想方法，是中档题．