Question

5．已知椭圆$C：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$，F为椭圆的右焦点，B为椭圆的上顶点，P是椭圆上一动点．
（1）求|OP|²+|PF|²的取值范围
（2）已知直线l：x+y=1，点P到直线l的距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．可得|OP|²+|PF|²=18$（cosθ-\frac{2}{3}）^{2}$+15，利用二次函数的单调性与三角函数的值域即可得出．
（2）设P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．可得d=$\frac{|4cosθ+\sqrt{7}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{23}sin（θ+φ）-1|}{\sqrt{2}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）F（3，0），设P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．
则|OP|²+|PF|²=16cos²θ+7sin²θ+（4cosθ-3）²+7sin²θ
=18cos²θ-24cosθ+23
=18$（cosθ-\frac{2}{3}）^{2}$+15∈[15，65]．
（2）设P$（4cosθ，\sqrt{7}sinθ）$，θ∈[0，2π）．
则d=$\frac{|4cosθ+\sqrt{7}sinθ-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{23}sin（θ+φ）-1|}{\sqrt{2}}$∈$[\frac{\sqrt{46}-\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{46}+1}{2}]$，其中cosφ=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{23}}$，sinφ=$\frac{4}{\sqrt{23}}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性值域、和差化积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．