Question

将函数f（x）=2sin（2x+

π

4

）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的

1

2

倍，所得图象关于直线x=

π

4

对称，则φ的最小正值为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式f（x）=2sin（4x-2φ+

π

4

），再根据三角函数的性质，当x=

π

4

时函数取得最值，列出关于φ的不等式，讨论求解即可．

解答： 解：将函数f（x）=2sin（2x+

π

4

）的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式f（x）=2sin[2（x-φ）+

π

4

]=2sin（2x-2φ+

π

4

），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍所得图象的解析式f（x）=2sin（4x-2φ+

π

4

）
因为所得图象关于直线x=

π

4

对称，所以当x=

π

4

时函数取得最值，所以4×

π

4

-2φ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z
整理得出φ=-

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z
当k=0时，φ取得最小正值为

3π

8

π．
故答案为：

3π

8

．

点评：本题考查三角函数图象的变换规律，三角函数的图象与性质．在三角函数图象的平移变换中注意是对单个的x或y来运作的，如本题中，向右平移φ个单位后相位应变为2（x-φ）+

π

4

，而非2x-φ+

π

4

．