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    【题目】已知向量，，函数.

    （1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；

    （2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.

    【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）.

    【解析】

    （1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；

    （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.

    （1）由题意，向量，，

    所以

    .

    可得，即函数的最小正周期为，

    令，解得

    所以函数的最小正周期为，对称轴方程为.

    （2）由（1）知，

    将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得，

    然后将向左平移个单位长度得到函数，

    令，即，

    由图可知，在上有4个零点：，，，，

    根据对称性有，，

    所以所有零点和为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设数列满足，求数列的前项和.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为，由a3=7，且、、成等比数列．可得，解之得即可得出数列的通项公式；

    2）由（1）得，则，由裂项相消法可求数列的前项和.

    试题解析：（1）设数列的公差为，且由题意得，

    即 ，解得，

    所以数列的通项公式.

    （2）由（1）得

    ，

    .

    【题型】解答题
    【结束】
    18

    【题目】四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形.

    （1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；

    （2）求点B到平面SAD的距离.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

    A. 若， ，则

    B. 若, ,则

    C. 若， , ，则

    D. 若，且，点，直线，则

    【答案】C

    【解析】A. 若， ，则或；

    B. 若, ,则无交点，即平行或异面；

    C. 若， , ，过作平面与分别交于直线s,t,则, ,所以t,再根据线面平行判定定理得，因为， ,所以,即

    D. 若，且，点，直线，当B在平面内时才有,

    综上选C.

    【题型】单选题
    【结束】
    11

    【题目】甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（ ）

    A. 甲和乙不可能同时获奖 B. 丙和丁不可能同时获奖

    C. 乙和丁不可能同时获奖 D. 丁和甲不可能同时获奖

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

    【答案】(1) ；(2)答案见解析.

    【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程 并与离心率联立方程组，解得， （2）根据点斜式得直线方程，与直线联立解得点坐标，根据向量关系得为直径的圆方程，最后代人椭圆方程进行化简，并根据恒等式成立条件求定点坐标.

    试题解析：(1)由已知，

    ∴①

    ∵椭圆过点，

    ∴②

    联立①②得，

    ∴椭圆方程为

    （2）设，已知

    ∵，∴

    ∴都有斜率

    ∴

    ∴③

    ∵

    ∴④

    将④代入③得

    设方程

    ∴方程

    ∴

    由对称性可知，若存在定点，则该定点必在轴上，设该定点为

    则

    ∴

    ∴，∴

    ∴存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.

    点睛：定点的探索与证明问题

    (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

    (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．

    【题型】解答题
    【结束】
    21

    【题目】已知函数，曲线在处的切线经过点.

    （1）证明： ；

    （2）若当时， ，求的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．

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    【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，AC⊥BC,四边形BB1C1C为正方形，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.

    求证：（1）DE∥平面AA1C1C;

    (2)BC1⊥平面AB1C.

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    【题目】下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.

    若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）

    A.数列是递增数列B.数列是递增数列

    C.数列的最大项是D.数列的最大项是

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    【题目】根据抛物线的光学原理：平行于抛物线的轴的光线，经抛物线反射后，反射光线必经过焦点．然后求解此题：有一条光线沿直线射到抛物线（）上的一点，经抛物线反射后，反射光线所在直线的斜率为．

    （Ⅰ）求抛物线的标准方程；

    （Ⅱ）过定点的直线l与抛物线交于两点，与直线交于Q点，若，=，求的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．

    （1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；

    （2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围.

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