Question

6．已知函数f（x）=2sin²x+sin2x-1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设$f（{\frac{x_0}{2}}）=cos（{\frac{π}{6}+α}）cos（{\frac{π}{6}-α}）+{sin^2}α$，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（2）由已知变形可得$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{4}$，由和差角公式可得sinx₀-cosx₀=$\frac{3}{4}$，平方由二倍角的正弦可得．

解答 解：（1）变形可得函数f（x）=2sin²x+sin2x-1
=sin2x-（1-2sin²x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵$f（{\frac{x_0}{2}}）=cos（{\frac{π}{6}+α}）cos（{\frac{π}{6}-α}）+{sin^2}α$，
∴f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（x₀-$\frac{π}{4}$）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）+sin²α
=$\frac{3}{4}$cos2α-$\frac{1}{4}$sin²α+sin²α=$\frac{3}{4}$，即$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx₀-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx₀）=$\frac{3}{4}$，
∴sinx₀-cosx₀=$\frac{3}{4}$，平方可得1-sin2x₀=$\frac{9}{16}$，故sin2x₀=$\frac{7}{16}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和二倍角公式，属基础题．