Question

已知函数f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x，其中a为常数．
（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调区间；
（2）设g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1，问是否存在实数a，使得当a∈（0，1]时，g（x）有最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的定义域，再求导f′（x）=2

1

x

-ax-3，从而可得f′（1）=2-a-3=0，从而求a，代入根据导数的正负确定函数的单调性；
（2）由题意，g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1可化为g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1；根据二次函数的性质判断函数的最值．

解答： 解：（1）f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=

2

x

-ax-3，
令f′（1）=2-a-3=0，
解得a=-1；
故f（x）=2lnx+

1

2

x²-3x，
f′（x）=

2

x

+x-3=

(x-1)(x-2)

x

；
故当0＜x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（0，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）；
（2）由题意，g（x）+xf′（x）=-3x²+ax+1可化为
g（x）+x（

2

x

-ax-3）=-3x²+ax+1，
g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1；
∵a∈（0，1]，
∴a-3＜0，且g（x）图象的对称轴x=-

a+3

a-3

＞0；
故g（x）=（a-3）x²+（a+3）x-1在（0，+∞）上在对称轴处有最大值，
故a的取值范围为（0，1]．

点评：本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质应用，属于中档题．