Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃、S₉、S₆成等差数列，则下列说法错误的是（　　）

• A． a₃、a₆、a₉成等比数列
• B． a₃、a₆、a₉成等差数列
• C． S₂、S₈、S₅成等比数列
• D． S₂、S₈、S₅成等差数列

Answer 1

分析 由等比数列的定义，验证得当q=1时不符合题意，因此得q≠1．再由等比数列的求和公式，结合S₃、S₉、S₆成等差数列建立关于q的方程，解之即可得到q³的值，再分别验证即可判断．

解答 解：若等比数列{a_n}公比q=1，则S₃+S₆=9a₁，
而2S₉=18a₁，与S₃+S₆=2S₉矛盾，
∴q≠1，
∵S₃+S₆=2S₉，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$，
整理，得2q⁹-q⁶-q³=0，
解得q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，
∵q≠1，∴q³=-$\frac{1}{2}$，
∴a₃、a₆、a₉是以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
故A准确
∵S₈=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，S₂=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$，
若S₂、S₈、S₅成等差数列，
则S₂+S₅=2S₈，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$=2$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，
∴1+q³=2q⁶，成立
故S₂、S₈、S₅成等差数列，不成等比数列
故D正确，
由等比数列的通项公式，可得
a₉=a₁q⁸，a₃+a₆=a₁q²+a₁q⁵，
∵q³=-$\frac{1}{2}$
∴2a₉-（a₃+a₆）=a₁q²（2q⁶-1-q³）
=a₁q²[2×（-$\frac{1}{2}$）²-1-（-$\frac{1}{2}$））=0
∴2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差数列，
故B正确，
故选：C．

点评 本题着重考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了等差中项的概念，属于中档题．