Question

设

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0）），（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则a与b的关系式为

 

1

a

+

2

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,平行向量与共线向量,三点共线

专题：平面向量及应用

分析：利用向量共线定理可得：2a+b=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：

AB

=

OB

-

OA

=（a-1，1），

AC

=（-b-1，2）．
∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k使得

AB

=k

AC

，
∴

a-1=k(-b-1) 1=2k

，
化为2a+b=1．
∵a，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=（2a+b）(

1

a

+

2

b

)=4+

b

a

+

4a

b

≥4+2

b a • 4a b

=8，当且仅当b=2a=

1

2

时取等号．
故答案分别为：2a+b=1，8．

点评：本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．