Question

17．已知函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{ax-6}{x-2}$（a为常数）在区间（3，5）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 设t=$\frac{ax-6}{x-2}$，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$，则函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$t为减函数，
∵f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{ax-6}{x-2}$（a为常数）在区间（3，5）上是减函数，
∴函数t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$在区间（3，5）上是增函数，且g（3）≥0
t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$=$\frac{a（x-2）+2a-6}{x-2}$=a+$\frac{2a-6}{x-2}$，
若t=g（x）=$\frac{ax-6}{x-2}$在区间（3，5）上是增函数，则2a-6＜0，即a＜3，
由g（3）≥0得g（3）=3a-6≥0，解得a≥2，
综上2≤a＜3，
即实数a的取值范围是[2，3）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用换元法结合对数函数和分数函数的单调性是解决本题的关键．