Question

7．已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，${f}^{'}（x）=2x-\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（Ⅱ） 由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得${g}^{'}（x）=2x+\frac{a}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$，令φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$，则φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}-4x$．由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+alnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2时，${f}^{'}（x）=2x-\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$．
当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．
（Ⅱ） 由g（x）=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，得${g}^{'}（x）=2x+\frac{a}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}$．
若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$，则φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}-4x$．
当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-4x＜0，
∴φ（x）=$\frac{2}{x}-2{x}^{2}$在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）_max=φ（1）=0．
∴a≥0．
∴a的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．