Question

在ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心。

（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；
（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

Answer 1

（Ⅰ）由角间的关系可以证明 （Ⅱ）由角相等来证明

试题分析：（Ⅰ） 如图，

∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是锐角，
从而的外心与顶点A在DF的同侧，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F，O四点共圆．              
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF的平分线上．     
点评：本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键.