Question

3．为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如表：

校区	愿意参加	不愿意参加
重庆一中本部校区	220	980
重庆一中大学城校区	80	720

（1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；
（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：P（S=6k）=$\frac{4-k}{6}$，k=1，2，3，假设解答各题之间没有影响，
①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值E（S）；
②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望．

Answer 1

分析 （1）按分层抽样的方法即可得出．
（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为$P（{S=6k}）=\frac{4-k}{6}\;\;，\;\;k=1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;3$，可得分布列与数学期望．
②法一：记ξ为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则ξ=12，18，24，30，36．分别计算其概率，即可得出“如花姐”最后得分的期望值为20×3+E（ξ）．
法二：“如花姐”最后得分的期望值为20×3+2E（S）．

解答 解：（1）大学城校区应抽取$15×\frac{80}{220+80}=4$人．
（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为$P（{S=6k}）=\frac{4-k}{6}\;\;，\;\;k=1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;3$，即；

S	6	12	18
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

∴对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为$E（S）=6×\frac{1}{2}+12×\frac{1}{3}+18×\frac{1}{6}=10$．
②法一：记ξ为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则ξ=12，18，24，30，36.$P（{ξ=12}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}；P（{ξ=18}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2=\frac{1}{3}；P（{ξ=24}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$；$P（{ξ=30}）=\frac{1}{3}×\frac{1}{6}×2=\frac{1}{9}；P（{ξ=36}）=\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$；
∴$E（ξ）=12×\frac{1}{4}+18×\frac{1}{3}+24×\frac{5}{18}+30×\frac{1}{9}+36×\frac{1}{36}=20$．
∴“如花姐”最后得分的期望值为20×3+E（ξ）=80．
法二：“如花姐”最后得分的期望值为20×3+2E（S）=80．

点评 本题考查了分层抽样、概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．