Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，且a_n+1=λS_n-S_n+1，其中λ是常数，若{a_n}是递增数列，则λ的取值范围是λ＞3．

Answer 1

分析 通过a_n+1=λS_n-S_n+1与a_n+2=λS_n+1-S_n+2作差，整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{λ+1}{2}$，进而可知λ＞1（n≥2），令n=1同理可知λ＞3，进而可得结论．

解答 解：∵a_n+1=λS_n-S_n+1，
∴a_n+2=λS_n+1-S_n+2，
两式相减得：a_n+2-a_n+1=λa_n+1-a_n+2，
整理得：2a_n+2=（λ+1）a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{λ+1}{2}$，
依题意$\frac{λ+1}{2}$＞1，即λ＞1（n≥2），
又∵a₂=λS₁-S₂，
∴2a₂=（λ-1）a₁，即$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{λ-1}{2}$，
依题意，$\frac{λ-1}{2}$＞1，即λ＞3，
综上所述，λ＞3，
故答案为：λ＞3．

点评 本题考查数列的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．