Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且5sin

C

2

=cosC+2．
（1）求角C的大小；
（2）若

tanA

tanB

+1=

4 3 c

3b

，c=2，求边a的长．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式对原式进行化简整理，可求得sin

C

2

，进而求得C．
（2）利用同角三角函数关系，把正切化成正弦和余弦化简整理可求得cosA的值，进而求得sinA的值，最后利用正弦定理求得a．

解答： 解：（1）∵5sin

C

2

=cosC+2，
∴5sin

C

2

=1-2sin2

C

2

+2，(sin

C

2

+3)(2sin

C

2

-1)=0，
∴sin

C

2

=

1

2

，sin

C

2

=-3（不合题意）
∴∠C=

π

3

．
（2）∵

tanA

tanB

+1=

4 3 c

3b

，c=2，
∴

sinA•cosB

cosA•sinB

+1=

sin(A+B)

cosAsinB

=

3 2

cosAsinB

=

4 3 c

3b

∵

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

c

b

=

sinC

sinB

∴

4 3 c

3b

=

4 3 sinC

3sinB

∴

3 2

cosAsinB

=

4 3 c

3b

=

4 3 sinC

3sinB

，
∴cosA=

3

4

，
∴sinA=

13

4

，
由正弦定理得：

c

sinC

=

a

sinA

，a=

csinA

sinC

=

39

3

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生基础知识的综合运用．