Question

已知三次函数f（x）=x³-3x²-9x+a的图象为曲线C，则下列说法中正确的是

 

．
①f（x）在区间（-1，+∞）上递增；
②若f（x）至少有两个零点，则a的取值范围为[-5，27]；
③对任意x₁，x₂∈[-1，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤32；
④曲线C的对称中心为（1，f（1））；
⑤曲线C上不存在点M，使得C在点M处的切线与C恰有一个公共点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：①，f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），当x≤-1或x≥3时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上单调递增，可判断①；
②，若f（x）至少有两个零点，则

f(-1)≥0 f(3)≤0

，可求得a的取值范围，可判断②；
③，依题意，知|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，可判断③；
④，f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，可判断④．
⑤，作出曲线C的图象，可判断⑤．

解答： 解：对于①，∵f（x）=x³-3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
当x≤-1或x≥3时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上单调递增，故①错误；
对于②，由①知，当x=-1时，f（x）取得极大值f（-1）=5+a，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=a-27，
若f（x）至少有两个零点，则

f(-1)≥0 f(3)≤0

，解得-5≤a≤27，故②正确；
对于③，∵f（x）在[-1，3]上单调递减，
∴对任意x₁，x₂∈[-1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）=32|，故③正确；
对于④，∵f′（x）=3x²-6x-9，
∴f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，
∴曲线C的对称中心为（1，f（1）），故④正确；
对于⑤，如图，设M（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，y′|x=x0=3x₀²-6x₀-9，即过点M的切线的斜率k=3x₀²-6x₀-9，
∴过点M的切线方程为：y-y₀=（3x₀²-6x₀-9）（x-x₀），与y=x³-3x²-9x+a联立得：
x³-3x²-（3x₀²-6x₀）x+3x₀³-6x₀²-9x₀+a=0，
显然，该切线除过M（x₀，y₀）点外，也经过（0，0）；
若M的坐标为（0，0），则过点M的切线的斜率k=-9，过点M的切线方程为：y=-9x，与y=x³-3x²-9x+a联立得x³-3x²+a=0，
当a=0时，x=3或x=0，满足题意；
当a≠0时，也满足题意，综上所述，曲线C上不存在点M，使得C在点M处的切线与C恰有一个公共点，故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题考查导数的综合应用，突出考查利用导数分析函数的单调性与极值、函数的零点、曲线的对称中心，考查作图能力，属于难题．