Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（2x+

π

3

）+2cos²x．
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象如何变换得来，请详细说明．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换求出正弦型函数的形式进一步求函数的值．
（2）利用上一步的结果，利用整体思想求函数的单调递增、递减区间．
（3）函数图象的变换，平移板换和伸缩变换．注意变换规律．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（2x+

π

3

）+2cos²x=2sin(2x+

π

6

)+1
所以：f(

π

12

)=

3

+1，
（2）令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以：f（x）增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
同理求得：f（x）减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)
（3）变换步骤：（答案不唯一）y=sinx所有的横标变为原来的

1

2

得到：y=sin2x所有点向左平移

π

12

个单位得到：y=sin(2x+

π

6

)所有点的纵标伸长原来的2倍得到：y=2sin(2x+

π

6

)所有的点向上平移一个单位得到：y=2sin(2x+

π

6

)+1．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调区间的求法，函数的图象的变换问题．