Question

9．求函数f（x）=cos²x+2asinx-1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值．

Answer 1

分析 将函数化为f（x）=-sin²x+2asinx，令t=sinx，t∈[0，1]，化函数y=f（x）=-t²+2at=-（t-a）²+a²，求出对称轴，讨论区间与对称轴的关系，结合单调性，即可得到所求最大值．

解答 解：函数f（x）=cos²x+2asinx-1
=-sin²x+2asinx，
令t=sinx，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得t=sinx∈[0，1]，
则函数y=f（x）=-t²+2at=-（t-a）²+a²，
对称轴t=a，
当a≥1时，函数y在[0，1]递增，可得t=1时，取得最大值2a-1；
当a≤0时，函数y在[0，1]递减，可得t=0时，取得最大值0；
当0＜a＜1时，函数y在t=a处取得最大值，且为a²．
综上可得，当a≥1时，函数的最大值为2a-1；
当a≤0时，函数的最大值为0；
当0＜a＜1时，函数的最大值为a²．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法化为二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．