(本小题满分12分)已知抛物线:和点,若抛物线上存在不同两点、满足.
(I)求实数的取值范围;
(II)当时,抛物线上是否存在异于的点,使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
(1) 即的取值范围为.
(2) 满足题设的点存在,其坐标为 .
解析试题分析:解法1:(I)不妨设A,B,且,∵,
∴.∴,.
根据基本不等式(当且仅当时取等号)得
(),即,
∴,即的取值范围为.
(II)当时,由(I求得、的坐标分别为、.
假设抛物线上存在点(,且),使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.
设经过、、三点的圆的方程为,
则
整理得 . ①
∵函数的导数为,
∴抛物线在点处的切线的斜率为,
∴经过、、三点的圆在点处的切线斜率为.
∵,∴直线的斜率存在.∵圆心的坐标为,
∴,即. ②
∵,由①、②消去,得. 即.
∵,∴.故满足题设的点存在,其坐标为.
解法2:(I)设,两点的坐标为,且。
∵,可得为的中点,即.
显然直线与轴不垂直,设直线的方程为,即
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设,分别是椭圆E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,,成等差数列。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若直线的斜率为1,求b的值。
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(本小题满分12分)
已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点,点F2在线段PF1的中垂线上。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角互补,求证:直线过定点,并求该定点的坐标。
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(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点,且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为,过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点,且使得成立?若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由
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(本小题满分12分)
已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为,P为左顶点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点F的直线交椭圆C于A,B两点,若△PAB的面积为,求直线AB的方程。
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(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为2,离心率e=,过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l的方程.
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