Question

【题目】已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），设函数f（x）= ，且y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2）．
（1）求m，n的值；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知： ， ，

则： =msin2x+ncos2x，

y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，﹣2）．

则： 解得： ，

即：m= ，n=1

故答案为： m= ，n=1

（2）解：由（1）得： = ，f（x）向左平移φ个单位得到：

g（x）=2sin（2x+2Φ+ ），

设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则： ，

则：g（0）=2，

解得：Φ= ，

所以：g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x．

令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）

则：单调递增区间为：[ ]（k∈Z）

故答案为：单调递增区间为：[ ]（k∈Z）

【解析】（1）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（2）由（1）得： = ，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+ ）设g（x）的对称轴x=x0 ， 最高点的坐标为：（x0 ， 2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x，进一步求得单调区间．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．