Question

设F₁，F₂是双曲线

x2

4

-y²=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F₁PF₂的面积为1时，

PF1

•

PF2

的值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

4

-y²=1的方程可求得两焦点F₁、F₂的坐标及|F₁F₂|，再由△F₁PF₂面积为1可求得点P的坐标，从而可求得

PF1

•

PF2

的值．

解答： 解：∵双曲线的方程为

x2

4

-y²=1，
∴两焦点F₁、F₂的坐标分别为（-

5

，0），（

5

，0），
∴|F₁F₂|=2

5

，
∵△F₁PF₂面积为1，设点P的坐标为（m，n），
则

1

2

|F₁F₂||n|=1，
∴|n|=

5

5

，不妨取n=

5

5

，
将点P（m，

5

5

）的坐标代入双曲线的方程

x2

4

-y²=1得：m=±

2 30

5

，不妨取m=

2 30

5

，
则P（

2 30

5

，

5

5

），
∴

PF1

=（-

2 30

5

-

5

，-

5

5

），

PF2

=（-

2 30

5

+

5

，-

5

5

），
∴

PF1

•

PF2

=

24

5

-5+

1

5

=0，
故答案为：0．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查平面向量数量积的运算，求得点P的坐标是关键，属于中档题．