Question

20．（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件可得$\frac{{C}_{n}^{3}}{{C}_{n}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，由此求得n的值．
（2）利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．

解答 解：（1）∵${（\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^n}$的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3，即$\frac{{C}_{n}^{3}}{{C}_{n}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
求得n=15．
（2）根据展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{15}^{r}$•${x}^{\frac{15-3r}{2}}$，可得当r=7或8时，二项式系数${C}_{15}^{r}$取得最大值，
故展开式中二项式系数最大的项为T₈=${C}_{15}^{7}$•x^-3，T₉=${C}_{15}^{8}$•为${C}_{15}^{5}$．${x}^{-\frac{9}{2}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．