Question

19．已知函数f（x）=4tan（x+$\frac{π}{6}$）cos²（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数有意义，x+$\frac{π}{6}≠\frac{π}{2}+kπ$，可得定义域，利用三角函数有关系公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调递增减区间，根据x∈（0，$\frac{π}{3}$）上时，可得f（x）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上的单调性．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=4tan（x+$\frac{π}{6}$）cos²（x+$\frac{π}{6}$）-1．
∵正切函数的定义域满足，x+$\frac{π}{6}≠\frac{π}{2}+kπ$，
可得：x≠$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠$\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z}，
函数f（x）化简可得：f（x）=$\frac{4sin（x+\frac{π}{6}）}{cos（x+\frac{π}{6}）}×co{s}^{2}（x+\frac{π}{6}）-1$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$）上时，
令k=0，可得f（x）在区间（0，$\frac{π}{12}$]上是单调增区间．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{7π}{12}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$）上，
令k=0，可得f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上是单调减区间．
∴f（x）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上时，（0，$\frac{π}{12}$]是单调增区间，[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）上是单调减区间．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．