Question

函数y=

x

x-1

的图象与函数y=2cos²

π

4

x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：二倍角的余弦,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数y=

x

x-1

=1+

1

x-1

，可知其定义域为{x|x≠1}，其两条渐近线方程分别为：x=1，y=1．函数y=2cos²

π

4

x=1+cos

π

2

x，可得T=4（-3≤x≤5）．
画出图象，可知：函数y=

x

x-1

的图象与函数y=2cos²

π

4

x的图象关于点（1，1）中心对称．即可得出．

解答： 解：由于函数y=

x

x-1

=1+

1

x-1

，可知其定义域为{x|x≠1}，其两条渐近线方程分别为：x=1，y=1．
函数y=2cos²

π

4

x=1+cos

π

2

x，可得T=

2π

π 2

=4（-3≤x≤5）．
画出图象：
可知：函数y=

x

x-1

的图象与函数y=2cos²

π

4

x的图象关于点（1，1）中心对称．
根据图象的对称性可得：y_A+y_D=y_B+y_C=2，
∴函数y=

x

x-1

的图象与函数y=2cos²

π

4

x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于4．
故选：B．

点评：本题考查了利用函数的图象的对称性解决问题，考查了反比例函数的图象、余弦函数的图象、倍角公式、图象的变换，考查了数形结合的思想方法，属于难题．