Question

4．若等差数列{a_n}的公差为2，且a₅是a₂与a₆的等比中项，则该数列的前n项和S_n取最小值时，n的值等于6．

Answer 1

分析 由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a₁，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．

解答 解：由a₅是a₂与a₆的等比中项，
可得a₅²=a₂a₆，
由等差数列{a_n}的公差d为2，
即（a₁+8）²=（a₁+2）（a₁+10），
解得a₁=-11，
a_n=a₁+（n-1）d=-11+2（n-1）=2n-13，
由a₁＜0，a₂＜0，…，a₆＜0，a₇＞0，…
可得该数列的前n项和S_n取最小值时，n=6．
故答案为：6．

点评 等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．