Question

19．下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是1，从外到内，第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为${S_n}（n∈{N^*}）$．
（1）试写出S_n+1与${S_n}（n∈{N^*}）$的递推关系式；
（2）设${T_n}={S_1}+{S_2}+…+{S_n}（n∈{N^*}）$，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）设第n（n∈N^*）个正方形的边长为a_n，则其内切圆半径为$\frac{a_n}{2}$，第n+1个正方形的边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}$，其内切圆半径为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}$，然后求解S_n+1与${S_n}（n∈{N^*}）$的递推关系式．
（2）求出前n项和，利用等比数列求和化简求解即可．

解答 解：（1）设第n（n∈N^*）个正方形的边长为a_n，则其内切圆半径为$\frac{a_n}{2}$，
第n+1个正方形的边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}$，其内切圆半径为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}$，
所以${S_n}=a_n^2-π{（\frac{a_n}{2}）^2}=a_n^2（1-\frac{π}{4}）$，
${S_{n+1}}={（\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a_n}）^2}-π{（\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a_n}）^2}=a_n^2（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）=\frac{1}{2}{S_n}$，（n∈N^*）．
（2）由（1）${S_1}=（1-\frac{π}{4}）$，${S_2}=（\frac{1}{2}-\frac{π}{8}）$，…，${S_n}=（1-\frac{π}{4}）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
得T_n=S₁+S₂+…+S_n=$（1-\frac{π}{4}）（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）$=$（2-\frac{π}{2}）（1-\frac{1}{2^n}）（n∈{N^*}）$．

点评 本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．