Question

已知直线y=kx是y=1nx-3的切线，则k的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：设出切点，求出曲线y=1nx-3在切点处的导数值，由点斜式写出切线方程，结合直线y=kx是y=1nx-3的切线利用系数间的关系求得x₀，则k的值可求．

解答： 解：由y=1nx-3，得y′=

1

x

，
设切点为（x₀，lnx₀-3），
∴y′|x=x0=

1

x0

，
∴曲线y=1nx-3过切点（x₀，lnx₀-3）的切线方程为：
y-lnx0+3=

1

x0

(x-x0)，
整理得：y=

1

x0

x+lnx0-4．
又直线y=kx是y=1nx-3的切线，
∴lnx₀-4=0，解得：x0=e4．
∴k=

1

x0

=

1

e4

=e-4．
故答案为：e^-4．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了利用两直线系数间的关系求字母的值，是中档题．