Question

7．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若公差d≠0，a₅=10，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的前n项和公式、等比数列性质，列出方程组，求出a₁=2，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和法能证明T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，
公差d≠0，a₅=10，且成等比数列，
∴由题知：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}（{a_1}+3d）={（{a_1}+d）^2}\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，d=2，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2n．
证明：（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+1）}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的前n项和公式、能项公式、等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．